14. kolovoza 2012.

Riješeni zadaci iz matematike za državnu maturu - viša razina II

Riješeni zadaci iz matematike za državnu maturu - viša razina II


Državna matura – kružnica
17. Kružnica u prvome kvadrantu ima polumjer 4 i dira os ordinata u točki A(0, 5).

Napišite jednadžbu te kružnice.


Pošto je kružnica u prvom kvadrantu, njeno je središte S(4, 5).

 

Jednadžba kružnice:


(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}

(x-4)^{2}+(y-5)^{2}=16

Državna matura – jednadžbe


18.
Riješite sljedeće zadatke s jednadžbama.


18.1. Riješite jednadžbu \frac{5}{4}=3-\frac{x-2}{x+1}

Pomnožit ćemo čitavu jednadžbu s 4(x+1) da se rješimo razlomaka:


5(x+1)=3\cdot 4(x+1)-4(x-2)

5x+5=12x+12-4x+8

x= - 5

18.2. 
Odredite x\in < 0,2\pi > za koji je \cos (\frac{\pi }{3}+x)=1

Kosinus je jednak 1 u izrazima oblika 2k\pi. S obzirom na interval kojem pripada x, izraz $latex \frac{\pi }{3}+x$ bit će nam ili 0 ili 2\pi:

\frac{\pi }{3}+x=0\Rightarrow x=-\frac{\pi }{3}  ovo otpada

\frac{\pi }{3}+x=2\pi\Rightarrow x=\frac{5\pi }{3}


Državna matura – graf funkcije


19.
Riješite sljedeće zadatke s grafom funkcije.


19.1
Nacrtajte graf funkcije f(x)= x^{2}+2x-3

19.2.
Graf polinoma trećega stupnja prolazi točkama A(-1, 4), B(0, 9/2) , C(1, 5) i  D(3,0) , gdje je A točka lokalnoga minimuma, a C točka lokalnoga maksimuma. Iz zadanih podataka skicirajte graf toga polinoma na intervalu −2, 4.

Napomena:
Za skiciranje nije potrebno odrediti formulu zadanoga polinoma.


19. 1. Izračunamo koordinate tjemena:

x = -b/2a = -1

y= f(-1) = 1 – 2 – 3 = -4


Koeficijent ispred vodećeg člana a = 1 je pozitivan. To znači da će parabola biti otvorena prema gore. Izračunamo nultočke kvadratne jednadžbe:

x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

x_{1}=-3,x_{2}=1

Graf će izgledati otprilike
ovako

19.2.
Kako je A lokalni minimum, a B lokalni maksimum, slijedi da će funkcija padati na <-\infty ,-1>, rasti na <-1, 1> i opet padati na <1, +\infty>. Evo
grafa


Državna matura – postotni račun


20.
Kod plaćanja nekoga proizvoda na njegovu osnovnu cijenu dodaje se 23% PDV-a.


20.1.
Osnovna cijena proizvoda je 65.45 kn. Kolika mu je cijena kod plaćanja?

x=65.45+65.45\cdot 23\%=65.45+65.45\cdot 0.23=65.45\cdot 1.23=80.50

Odgovor: Cijena kod plaćanja je 80.50 kn

20.2.
Čokoladu smo platili 6.00 kn. Koliko je od toga iznos PDV-a?

x+0.23x=6\Rightarrow 1.23x=6\Rightarrow x=\frac{6}{1.23}=4.88

Odgovor: Iznos PDV-a je 6 – 4.88 = 1.12 kn



Državna matura – kvadratna jednadžba

21. Riješite sljedeće zadatke.


21.1.
Kvadratna jednadžba x^{2}+bx+c=0  ima dvostruko rješenje x_{1}=x_{2}=-5. Koliki je koeficijent b te kvadratne jednadžbe?

Kvadratna jednadžba ima oblik  a(x-x_{1})(x-x_{2})=0  U našem slučaju:

(x+5)(x+5)=0

x^{2}+10x+25=0

Odgovor: b = 10.

21.2.
Riješite nejednadžbu 2x^{2} > 7x + 4 i rješenje zapišite s pomoću intervala.

Prvo nađimo nultočke odgovarajuće kvadratne jednadžbe:

2x^{2} - 7x - 4=0

x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

x_{1}=4, x_{2}=-\frac{1}{2}

Kako je vodeći koeficijent a=2 pozitivan, rješenje nejednadžbe bit će

 <-\infty ,-\frac{1}{2}>\bigcup <4,+\infty >

odnosno

\mathbb{R}\setminus \left [ -\frac{1}{2},4 \right ]



Državna matura – sustav jednadžbi

22.1.

Iz 1. jednadžbe izrazimo x preko y:

4y=5x-10\Rightarrow x=\frac{4}{5}y+2

Iz 2. jednadžbe slijedi da je z=x-8= \frac{4}{5}y-6

     22.2.

Iz 1. nejednadžbe slijedi x>\frac{3}{2}

Iz 2. nejednadžbe dobivamo 2x+10\geq 6x-1

-4x\geq -11

x\leq \frac{11}{4}

Vrijedi i prva i druga nejednakost, tako da je rješenje njihov presjek:

x\in <\frac{3}{2},\frac{11}{4}]



Državna matura matematika – kubna jednadžba

23. 
Riješite sljedeće zadatke.

23.1.

x^{2}(x+a) - (x+ a) = 0

(x^{2}-1)(x+a)= 0

(x-1)(x+1)(x+a) = 0

Odgovor:
 x_{1}=1, x_{2}=-1, x_{3}=- a

23.2
. Riješite nejednadžbu log(x − 2) >1

10^{ \log(x - 2) }>10^1



24.

24.1.
Zapišite prvi član toga niza.

a_{1} = 2(1 + p) - 4=2+2p-4=2p-2

24.2.
Izračunajte vrijednost realnoga broja p ako je zbroj prvih pet članova toga niza  jednak 60


a_{1} = 2(1 + p) - 4=2+2p-4=2p-2


a_{2} = 2(2 + p) - 4=4+2p-4=2p

a_{3} = 2(3 + p) - 4=6+2p-4=2p+2

a_{4} = 2(4 + p) - 4=8+2p-4=2p+4

a_{5} = 2(5 + p) - 4=10+2p-4=2p+6

Zbrojimo prvih 5 članova niza i izjednačimo sa 60:

a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5} = 60

2p-2+2p+2p+2+2p+4+2p+6 = 60

10p+10=60

p=5



Državna matura matematika – koordinatni sustav

Prvo očitamo koordinate točaka: A(3, -3), B(2, 1), C(-3, 2). Za mjeru kuta pri vrhu C vrijedit će formula \tan\gamma =\left | \frac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}} \right |. k_{1} je koeficijent pravca AC, a k_{2} pravca BC:

k_{1}=\frac{y_{A}-y_{C}}{x_{A}-x_{C}}=\frac{-3-2}{3+3}=\frac{-5}{6}

k_{2}=\frac{y_{B}-y_{C}}{x_{B}-x_{C}}=\frac{1-2}{2+3}=\frac{-1}{5}

\tan\gamma =\left | \frac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}} \right |

\tan\gamma =\left | \frac{\frac{-1}{5}-\frac{-5}{6}}{1+\frac{-1}{5}\cdot\frac{-5}{6}} \right |=\frac {19}{35}

\gamma=28^{\circ}30{}'

25.2.
Izračunajte duljinu visine trokuta iz vrha B .

Visina iz vrha B jednaka je udaljenosti točke B od pravca AC. Udaljenost točke T(x_{1}, y_{1}) i pravca  p... Ax+By+C=0: d(T,p)=\frac{\left | Ax_{1}+By_{2}+C \right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}. Jednadžba pravca AC:

y - y_{A}=k_1(x-x_{A})

y +3=\frac{-5}{6}(x-3)

6y+18=-5x+15\Rightarrow 5x+6y+3=0

v_{b}=\frac{\left| Ax_{1}+By_{2}+C \right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}

v_{b}=\frac{5\cdot 2+6\cdot 1+3}{\sqrt{5^{2}+6^{2}}}=\frac{19}{\sqrt{61}}=\frac{19\sqrt{61}}{61}

25.3.
Vektor \overrightarrow{AB} prikažite kao linearnu kombinaciju jediničnih okomitih vektora \vec{i}\vec{j}
Jednostavno od koordinata krajnje točke B(2, 1) oduzmemo koordinate početne točke A(3, -3): 

\overrightarrow{AB}= (2-3)\vec{i} +(1+3)\vec{j}=-\vec{i}+4\vec{j}


Državna matura – sinusoida – graf funkcije

Vidimo da funkcija po y osi varira između -2 i 2. Znači da joj je amplituda A = 2.

f\left ( \frac{2\pi}{3} \right )=2

2\sin\left ( \frac{2\pi}{3} +C \right )=2

\sin\left ( \frac{2\pi}{3} +C \right )=1

\frac{2\pi}{3} +C =\frac{\pi }{2}

C= \frac{\pi }{2}-\frac{2\pi}{3}= \frac{-\pi}{6}



Državna matura – sličnost


28.1.
Napišite jednadžbu pravca koja prolazi točkom T(6, 3) i sjecištem pravaca 3x + 4y - 24 = 0 i

\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=1

Sredimo jednadžbu drugog pravca 3x-2y=6 i riješimo sustav – neka nam rješenje bude točka U.

Od prve jednadžbe oduzet ćemo drugu:

3x+4y-24-3x+2y=-6


x = 4

Gledamo jednadžbu pravca kroz točke T(6, 3) i U(4, 3):


y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left ( x-x_{1} \right )

y-3=\frac{3-3}{6-4}\left ( x-4 \right )

y =3

28.2.
Napišite koordinate žarišta (fokusa) hiperbole čija je jednadžba x^{2}-y^{2}=144 .

Apscisa fokusa zadovoljavat će jednadžbu e^{2}=a^{2}+b^{2}. Kako bismo dobili parametre a i b, hiperbolu svodimo na kanonski oblik \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 dijeljenjem početne jednadžbe s 144:

\frac{x^{2}}{144}-\frac{y^{2}}{144}=1

Dakle:

a=b=12\Rightarrow e=\pm \sqrt{a^{2}+b^{2}}=\pm \sqrt{12^{2}\cdot 2}=\pm 12\sqrt{2}

Odgovor: točke žarišta bit će F_{1}(12\sqrt{2},0) i F_{2}(-12\sqrt{2},0)

28.3.
Halleyev komet giba se oko Sunca po eliptičnoj putanji kojoj je numerički
ekscentricitet ε = 0.967 . Sunce se nalazi u žarištu (fokusu) te elipse.

Najmanja udaljenost kometa od Sunca je 8.75\cdot 10^{10} m.

Koliko iznosi najveća udaljenost Halleyeva kometa od Sunca?

Napomena: Numerički ekscentricitet ε računa se prema formuli \varepsilon =\frac{e}{a}

Komet je najmanje udaljen od Sunca (perihel) kad se nalazi “skroz istočno”, u T(a, 0) a

Sunce je u fokusu F(e, 0). Tada vrijedi d_{min}=a-e=8.75\cdot 10^{10}m

Komet je najudaljeniji od Sunca (afel) kad se nalazi “skroz zapadno”, u T(-a, 0). Tada je
njegova udaljenost d_{max}= a + e.

U formuli za najmanju udaljenost primjenimo jednakost e=\varepsilon \cdot a:

a-\varepsilon \cdot a=8.75\cdot 10^{10}m

a(1-\varepsilon) =8.75\cdot 10^{10}m

a(1-0.967) =8.75\cdot 10^{10}m

0.033a =8.75\cdot 10^{10}m

a =2.65\dot{1}\dot{5}\cdot 10^{12}m

Sad možemo izračunati i e:

e=\varepsilon \cdot a= 0.967 \cdot2.65\dot{1}\dot{5}\cdot 10^{12}m=2.5640\dot{1}\dot{5}\cdot 10^{12}m

Za kraj, maksimalnu udaljenost računamo tako da zbrojimo a i e:

d_{max}=a+e= 5.2155303\cdot 10^{12}m




Državna matura matematika – derivacija, domena, slika, ekstremi



29.1. Zadana je funkcija f(x)=2^{x}-8.

Odredite područje definicije funkcije f.

Odgovor:
Pošto možemo uvrstiti bilo koji realni broj, domena će biti <-\infty ,\infty > = \mathbb{R}

Odredite nultočku funkcije f.

2^{x}-8=0

2^{x}=8

2^{x}=2^{3}

x = 3

Izračunajte f (−5) . Rezultat zapišite u decimalnome obliku i zaokružite ga na
tri decimale.

f(-5)=2^{-5}-8=\frac{1}{32}-8\approx -7.969

29. 2. Odredite prvu derivaciju funkcije f(x)=x\cdot \sin x

f'(x)=x'\cdot \sin x +x\cdot \sin 'x=\sin x+x\cdot \cos x

29.3. Za koji realan broj x funkcija f(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-6 postiže lokalni minimum?

Izračunajmo prvu i drugu derivaciju funkcije:

f'(x)=x^{2}-x

f''(x)=2x-1

Izjednačimo prvu derivaciju s nulom i nađimo stacionarne točke. One su nam kandidati za ekstreme:

x^{2}-x=0

x(x-1)=0

x_{1}=0, x_{2}=1

Nađimo predznak druge derivacije u 0 i 1. To će nam reći postižu li se u stacionarnim točkama ekstremi:

f''(0)=-1<0 \Rightarrow Max

f''(1)=1>0 \Rightarrow min

Dakle, lokalni minimum postiže se u točki x = 1 i iznosi

29.4. Odredite skup svih vrijednosti (sliku) funkcije f(x) = |x +1| - 3 .

Apsolutna vrijednost će svaki sadržaj preslikati nenegativno (u pozitivan broj ili u nulu). Zbog toga je slika od |x +1| jednaka [0,\infty >. Kako mi od toga još oduzimamo 3, slika zadane funkcije će biti [-3,\infty >

29.5. Zadane su funkcije f(x)=2x i g(x)=\log _{5}x Rješite jednadžbu (f\circ g)(x)=7

(f\circ g)(x)=7

2\log _{5}x=7

\log _{5}x^{2}=7

x^{2}=5^{7}


U obzir uzimamo samo pozitivni korijen, pošto je g(x) definiran samo za pozitivne brojeve
.



30.



l_{1}=\frac{r\pi \alpha }{180^{\circ}}     (1)

l_{2}=\frac{(r+d)\pi \alpha }{180^{\circ}}     (2)

Podijelimo (2) s (1):

\frac{l_{2}}{l_{1}}=\frac{\frac{(r+d)\pi \alpha }{180^{\circ}}}{\frac{r \pi \alpha }{180^{\circ}}}

\frac{l_{2}}{l_{1}}=\frac{r+d}{r}

\frac{21.6}{14.6}=\frac{r+9.3}{r}

21.6\cdot r=14.6\cdot r+14.6\cdot 9.3

7\cdot r=135.78

r\approx 19.3971429 cm

Iz (1) izračunamo središnji kut:

\alpha =\frac{180l_{1}}{r\pi }

\alpha \approx 43.125855^{\circ}

Izračunamo površinu kružnog vijenca:

P_{V}=[(r+d)^{2}-r^{2}]\pi

P_{V}\approx447.276858\pi \; cm^{2}

Površina etikete bit će:

P_{E}=P_{V}\cdot \frac{\alpha }{360^{\circ}}

P_{E}\approx 53.5811\pi\; cm^{2}

Pogledamo koliko etiketa možemo izrezati iz kružnog vijenca:

360^{\circ}/\alpha \approx 8.34766049

n = 8

I za kraj, od ukupne površine oduzmemo 8 površina etiketa:


P\approx 18.628058\pi \; cm^{2}\approx 58.52177\; cm^{2}

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranoga kartona oblika kružnoga vijenca.

Dimenzije jedne etikete su l_{1} =14.6 cm,  l_{2} = 21.6 cm, d = 9.3 cm. Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnoga vijenca izrezan maksimalni broj etiketa?
 




29. Riješite sljedeće zadatke s funkcijama.
 

27. Kvadrat ABCD na skici ima stranice duljine 7 cm, a kvadrat BEFG stranice duljine 5 cm.


matura matematika slicnost
Kolika je duljina dužine \overline{DE}?

\overline{DE} je hipotenuza pravokutnog trokuta EDA.

Odredite omjer duljina dužina \overline{BH} i \overline{HG}.

Neka je |BH| =  x. Tada je |HC| = 7 – x.  Iz sličnosti trokuta BEH i HCD slijedi:

x : (7-x) = 5:7 ==> 7x = 35 – 5x ==> x = 35/12

\overline{HG} = 5 – x = 25/12 

\overline{BH} : \overline{HG} = 35 : 25 = 7 : 5

Državna matura matematika – jednadžba pravca, hiperbola, elipsa 

28. Riješite sljedeće zadatke.
Državna matura iz matematike – kružni vijenac i isječak
 
26. Grafom je zadana funkcija f(x) = Asin(x +C) . Odredite A i C .


drzavna matura sinusoida
 


25. Na slici je prikazan trokut ABC.

drzavna matura matematika

25.1. Izračunajte mjeru kuta u vrhu C .
Zadan je opći član aritmetičkoga niza a_{n} = 2(n + p) - 4
Državna matura matematika – aritmetički niz 
Odredite sva tri rješenja jednadžbe x^{3} + ax^{2} - x - a = 0 .
Riješite sustav \left\{\begin{matrix}  x-\frac{1}{2}>1\\  2(x+5)\geq 6x-1  \end{matrix}\right.  i rješenje zapišite s pomoću intervala.
Izrazite z s pomoću y ako je \left\{\begin{matrix}  y=\frac{5(x-2)}{4}\\  x=z+8  \end{matrix}\right.


22. Riješite sljedeće zadatke sa sustavima.