DRŽAVNA MATURA ~ PRIPREME: Riješeni zadaci iz matematike za državnu maturu

Riješeni zadaci iz matematike za državnu maturu - viša razina I

Državna matura - matematika – mjerne jedinice
1. Koliko je $9.25 \cdot10^{-3} m^{2}$ izraženo u $cm^{2}$ ?

Rješenje.

Pošto metar ima 100 centimetara, kvadratni metar imat će 10000 kvadratnih centimetara.

$9.25\cdot 10^{-3}\cdot10^{4}= 9.25\cdot 10=92.5$

Dakle, odgovor je 92.5 $cm^{2}$ .

2. Koja krivulja drugog reda ima jednadžbu $9-3x^{2}-7y^{2}=0$ ?

A. hiperbola B. parabola C. kružnica D. elipsa

Rješenje.

D. elipsa.

Kako najlakše doći do točnog odgovora? Najbolje je prvo srediti izraz.

$3x^{2}+7y^{2}=9 \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{3}+\frac{7}{9}y^{2}= 1\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{\sqrt{3}^{2}}+\frac{y^{2}}{(\frac{3}{\sqrt{7}})^{2}}=1$

On sad odgovara kanonskoj jednadžbi elipse:

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

Neoprezni maturanti naći će se u opasnosti da je pobrka s jednadžbom hiperbole. Znači treba gledati jesu li predznaci ispred x i y jednaki ili ne.

$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

Državna matura – sličnost

3. Koja je od navedenih tvrdnja istinita:

Bilo koja dva tupokutna trokuta su slična.
Bilo koja dva pravokutna trokuta su slična.
Bilo koja dva jednakostranična trokuta su slična.
Bilo koja dva jednakokračna trokuta su slična.

Rješenje: Dva trokuta su slična ako su im jednako velika sva tri kuta. Za tupokutni, pravokutni i jednakokračni trokut ne možemo bez dodatnih informacija saznati veličinu sva tri kuta. Za jednakostranični možemo:

$\alpha = \beta = \gamma = 60^{\circ}$

Dakle, C. Bilo koja dva jednakostranična trokuta su slična.

Državna matura – trokut

4. U trokutu ABC stranica a je dvostruko dulja od stranice b. Mjera kuta α nasuprot stranice a je 74° . Kolika je mjera kuta β nasuprot stranice b?

16°
28°43’36”
37°
46°09’53”

Rješenje. Upotrijebit ćemo sinusov poučak. $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$

Slijedi da je $\sin \beta =\frac{b}{a}\sin \alpha =\frac{\sin 74^{\circ}}{2}$

Znači $\beta =\arcsin (\frac{\sin 74^{\circ}}{2})\approx 28^{\circ}44{}'$

Dakle B. 28°43’36”

Državna matura - algebarski izraz

5. Čemu je jednak b ako je

Rješenje.

$k\left ( a+b \right )=c\Rightarrow ka+kb=c\Rightarrow kb=c-ka\Rightarrow b=\frac{c-ka}{k}$

A.

6. Kompozicija teretnoga vlaka duga je 779 m i sastoji se od lokomotive, vagona
cisterni i vagona hladnjača. Vagon hladnjače je za 5 m kraći od vagona cisterne.
Lokomotiva je duga koliko su dugi vagon cisterne i vagon hladnjače zajedno. Razmak
između lokomotive i prvoga vagona jednak je razmaku između vagona i iznosi 1 m.
Kompozicija ima 40 vagona cisterni i 30 vagona hladnjača.
Kolika je duljina lokomotive?

Rješenje. h=c -5

l = c+h = c+c-5 = 2c-5

40c + 30h + l + 70 = 779 (ovih 70m daodajemo zbog razmaka između vagona)

40c + 30c – 150 + 2c – 5 + 70 = 779

72c = 864

c = 12

l = 2c -5 = 19

D. 19m

Državna matura – aritmetička sredina

7. Aritmetička sredina 6 različitih prirodnih brojeva je 6. Koju najveću moguću vrijednost može imati neki od tih brojeva?
A. 20
B. 21
C. 22
D. 23

Rješenje. Ovaj ćemo brzopotezno, na prste lijeve ruke. Ako je a. s. 6 brojeva 6, tada je njihov zbroj 36. Prvih 5 ćemo uzimat najmanje moguće – tako će nam šesti imati najveću moguću vrijednost. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + x = 36 –> x = 21

B. 21

Državna matura – trigonometrijska kružnica

$\frac{-65\pi }{6}=-10\pi -\frac{5\pi }{6}=-\frac{5\pi }{6}$

Tako. Sad od nule idemo 5pi/6 u negativnom smjeru. doći ćemo do odgovora A. A

Državna matura – kompleksni brojevi

9. Koliko ima kompleksnih brojeva za koje vrijede obje jednakosti | z − i | = 2 , | z − 4i | = 1 ?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4

Rješenje.

Imamo:

$x^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=4$
$x^{2}+\left ( y-4 \right )^{2}=1$

Oduzmimo (1) – (2), sredimo izraz. Dobit ćemo y = 3. Uvrstimo y u (1) i u (2) – dobit ćemo x = 0. Jedino rješenje je (0, 3) = 3i –> B. 1

Državna matura – logaritmi

10. Ako je $\log _{a}2=x$ i $\log _{a}3=y$ , koliko je $\log _{a}24$ ?

A. 3 + x
B. 3 + y
C. 3x + y
D. x + 3y

Rješenje.

$\log _{a}24=\log _{a}(8\cdot 3)=\log _{a}8+\log _{a}3=\log _{a}2^{3}+\log _{a}3=3\log _{a}2+\log _{a}3= 3x+y$

Točan odgovor je C. 3x + y. Ovo je zgodan zadatak – u nedostatku inspiracije može se rješavati i isprobavanjem.

Računaj redom 3 + x, 3 + y i tako dalje. Stani kad dođeš do rezultata.

Državna matura – valjak i prizma

11. Valjak je upisan u uspravnu pravilnu peterostranu prizmu kojoj su osnovni bridovi duljine 6 cm, a visina 8 cm.

Koliki je obujam (volumen) valjka?

A. 78.15 $cm^{3}$
B. 148.04 $cm^{3}$
C. 428.51 $cm^{3}$
D. 904.77 $cm^{3}$

Rješenje. Ovako će prizma i valjak izgledati iz tlocrta:

instrukcije matematika

Pronađimo polumjer kružnice. U pravokutnom trokutu CAO mi znamo
veličinu kuta CAO = $54^{\circ}$ (zašto?) i |AC| = 3 cm.

$\frac{r}{|AC|}=\tan \angle CAO \Rightarrow r=3\cdot tan54^{\circ}$

$r\approx 4.129$ cm

$V = r^{2}\pi \cdot h\approx 428.51\: cm^{3}$

Imamo odgovor – C. 428.51 $cm^{3}$

Kvadratna funkcija

Evo jednog zadatka s forum.hr:

Za x = 4 funkcija $f(x)=x^{2}+bx+c$ postiže najmanju vrijednost jednaku −9 . Koliki je c?

Rješenje.
Uvrstimo x=4 u našu funkciju. $9=f(4)=4^{2}+b\cdot 4+c=4b+c+16$

(1) 4b + c = 25

Izračunamo prvu derivaciju i izjednačimo s nulom

Funkcija će sigurno u toj točki postići minimum jer je vodeći koeficijent 1:

f’(x) = 2x + b = 0 ==> f’(4) = 2*4 + b = 0 ==> b = – 8

Uvrstimo u (1) 4b+c = 25 —> c=7

Državna matura – algebarski izraz

12. Što je rezultat sređivanja izraza $(\frac{4(a+b)}{(a-b)^{3}}-\frac{1}{a^{2}-b^{2}})\cdot(\frac{a^{2}}{3a+b}+\frac{b^{2}}{a+3b})$ ?

A. $\frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{3}}$
B. $\frac{1}{a^{3}+b^{3}}$
C. $\frac{(a-b)^{3}}{(a+b)^{2}}$
D. $\frac{(a+b)^{3}}{a^{3}-b^{3}}$

Rješenje.

$(\frac{4(a+b)}{(a-b)^{3}}-\frac{1}{(a-b)(a+b)})\cdot\frac{a^{2} (a+3b)+b^{2}(3a+b)}{(3a+b)(a+3b)}$

$\frac{4(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{(a-b)^{3}\cdot (a+b)}\cdot\frac{a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}{(3a+b)(a+3b)}$

$\frac{4a^{2}+8ab+4b^{2}-a^{2}+2ab-b^{2}}{(a-b)^{3}\cdot (a+b)}\cdot\frac{(a+b)^{3}}{(3a+b)(a+3b)}$

$\frac{3a^{2}+10ab+3b^{2}}{(a-b)^{3}}\cdot\frac{(a+b)^{2}}{(3a+b)(a+3b)}$

Rješenje je A. $\frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{3}}$

Racionalizacija

Racionaliziraj izraz $\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}$

Rješenje: Treći korijen – pouzdan znak da će se ovdje koristiti razlika ili zbroj kubova.

(1) $(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})= a^{3}-b^{3}$

(2) $(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})= a^{3}+b^{3}$

Pošto mi u zadatku imamo minus, odlučujemo se za (1). a = $\sqrt[3]{x+1}$ , b = $\sqrt[3]{x}$

$a-b = \frac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}$

Uvrstimo:

$\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}=\frac{\sqrt[3]{(x+1)^{3}}-\sqrt[3]{x^{3}}}{\sqrt[3]{(x+1)^{2}}+\sqrt[3]{x+1}\cdot \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^{2}}}= \frac{1}{\sqrt[3]{(x+1)^{2}}+\sqrt[3]{x+1}\cdot \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^{2}}}$

Državna matura iz matematike, trapez

Iz vrha C povučemo paralelu s krakom AD. Točku u kojoj ta paralela siječe osnovicu AB označimo s E. Tada mjera kuta BCE također iznosi 120 stupnjeva. Duljinu stranice EB računamo po kosinusovom poučku $\left | EB \right |^{2}=\left | EC \right |^{2}+\left | BC \right |^{2}-2ab\cos \varphi$ . Dakle, a – c = 37cm. Iz opsega dobijamo: a + b + c + d = 87 cm –> a + c = 47 cm. Iz toga dobivamo duljine osnovica: a = 42cm, c = 5 cm.

Visina trapeza jednaka je visini trokuta BCE. Prvo računamo površinu trokuta pomoću Heronove formule $P_{\triangle }=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)};s=\frac{a+b+c}{2}\Rightarrow P_{\triangle }\approx 100.026 cm^{2}$ . Izračunamo visinu: $P_{\triangle }=\frac{a\cdot v}{2}\Rightarrow v=\frac{2P_{\triangle }}{a}\approx 5.4cm$ . Sad imamo sve što trebamo za površinu trapeza. uvrstimo u formulu:

$P= \frac{a+c}{2}\cdot v\approx 127.06cm^{2}$

Državna matura - jednadžbe

Koja od navedenih jednadžbi ima barem jedno negativno rješenje?

A. $9^{3x-2}-7^{6x-4}=0$
B. $\left | x-5 \right |=4$
C. $\sqrt[3]{x+4}=2$
D. $5=(x-1)^{2}-x(x+3)$

A. Sredimo izraz.

$9^{3x-2} -49^{3x-2}=0$

$\left ( \frac{9}{49} \right )^{3x-2}=1$

x = 2/3

x = 1

II.

x = 9

x = 4

$5=x^{2}-2x+1-x^{2}-3x$

x = -4/5

Dakle, izraz D. $5=(x-1)^{2}-x(x+3)$ ima barem jedno negativno rješenje.

Državna matura – cijeli brojevi

14. Koliko ima cijelih brojeva n za koje je razlomak $\frac{2n^{2}+1}{n^{2}-1}$ cijeli broj?

A. 1
B. 3
C. 5
D. 7

$\frac{2n^{2}+1}{n^{2}-1}=\frac{2n^{2}-2+3}{n^{2}-1}=2+\frac{3}{n^{2}-1}$

Da bi taj izraz bio cijeli broj, $n^{2}-1$ treba dijeliti 3. Znači $n^{2}-1\in \left \{ -3,-1,1,3 \right \}$

1. $n^{2}-1=-3$ otpada

2. $n^{2}-1=-1\Rightarrow n_{1}=0$

3. $n^{2}-1=1$ otpada

4. $n^{2}-1=3\Rightarrow n_{2}=-2, n_{3}=2$

Dakle, nabrojali smo B. 3 cjelobrojna rješenja.

Državna matura - biološki model

15. Po nekome biološkome modelu veza broja vrsta V koje žive na nekoj površini P i te
površine dana je formulom logV = log c + k log P , gdje su c i k pozitivne konstante
koje ovise o vrstama i staništu.

Za neki je otok k = 0.323. Ako je 50% površine otoka izgorjelo, koliki se postotak
broja vrsta očekuje da će ostati na tome području?

A. 28.72%
B. 44.31%
C. 79.94%
D. 82.34%