Riješeni zadaci iz matematike za državnu maturu - viša razina II

Državna matura – kružnica
17. Kružnica u prvome kvadrantu ima polumjer 4 i dira os ordinata u točki A(0, 5).

Napišite jednadžbu te kružnice.

Pošto je kružnica u prvom kvadrantu, njeno je središte S(4, 5).

Jednadžba kružnice:

$(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}$

$(x-4)^{2}+(y-5)^{2}=16$

Državna matura – jednadžbe

18. Riješite sljedeće zadatke s jednadžbama.

18.1. Riješite jednadžbu $\frac{5}{4}=3-\frac{x-2}{x+1}$

Pomnožit ćemo čitavu jednadžbu s 4(x+1) da se rješimo razlomaka:

$5(x+1)=3\cdot 4(x+1)-4(x-2)$

18.2. Odredite $x\in < 0,2\pi >$ za koji je $\cos (\frac{\pi }{3}+x)=1$

Kosinus je jednak 1 u izrazima oblika $2k\pi$ . S obzirom na interval kojem pripada x, izraz $latex \frac{\pi }{3}+x$ bit će nam ili 0 ili $2\pi$ :

$\frac{\pi }{3}+x=0\Rightarrow x=-\frac{\pi }{3}$ ovo otpada

$\frac{\pi }{3}+x=2\pi\Rightarrow x=\frac{5\pi }{3}$

Državna matura – graf funkcije

19. Riješite sljedeće zadatke s grafom funkcije.

19.1 Nacrtajte graf funkcije $f(x)= x^{2}+2x-3$

19.2. Graf polinoma trećega stupnja prolazi točkama A(-1, 4), B(0, 9/2) , C(1, 5) i D(3,0) , gdje je A točka lokalnoga minimuma, a C točka lokalnoga maksimuma. Iz zadanih podataka skicirajte graf toga polinoma na intervalu −2, 4.

Napomena: Za skiciranje nije potrebno odrediti formulu zadanoga polinoma.

19. 1. Izračunamo koordinate tjemena:

x = -b/2a = -1

y= f(-1) = 1 – 2 – 3 = -4

Koeficijent ispred vodećeg člana a = 1 je pozitivan. To znači da će parabola biti otvorena prema gore. Izračunamo nultočke kvadratne jednadžbe:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$x_{1}=-3,x_{2}=1$

Graf će izgledati otprilike ovako

19.2. Kako je A lokalni minimum, a B lokalni maksimum, slijedi da će funkcija padati na $<-\infty ,-1>$ , rasti na <-1, 1> i opet padati na $<1, +\infty>$ . Evo grafa

Državna matura – postotni račun

20. Kod plaćanja nekoga proizvoda na njegovu osnovnu cijenu dodaje se 23% PDV-a.

20.1. Osnovna cijena proizvoda je 65.45 kn. Kolika mu je cijena kod plaćanja?

$x=65.45+65.45\cdot 23\%=65.45+65.45\cdot 0.23=65.45\cdot 1.23=80.50$

Odgovor: Cijena kod plaćanja je 80.50 kn

20.2. Čokoladu smo platili 6.00 kn. Koliko je od toga iznos PDV-a?

$x+0.23x=6\Rightarrow 1.23x=6\Rightarrow x=\frac{6}{1.23}=4.88$

Odgovor: Iznos PDV-a je 6 – 4.88 = 1.12 kn

Državna matura – kvadratna jednadžba
21. Riješite sljedeće zadatke.

21.1. Kvadratna jednadžba $x^{2}+bx+c=0$ ima dvostruko rješenje $x_{1}=x_{2}=-5$ . Koliki je koeficijent b te kvadratne jednadžbe?

Kvadratna jednadžba ima oblik $a(x-x_{1})(x-x_{2})=0$ U našem slučaju:

$x^{2}+10x+25=0$

Odgovor: b = 10.

21.2. Riješite nejednadžbu $2x^{2} > 7x + 4$ i rješenje zapišite s pomoću intervala.

Prvo nađimo nultočke odgovarajuće kvadratne jednadžbe:

$2x^{2} - 7x - 4=0$

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$x_{1}=4, x_{2}=-\frac{1}{2}$

Kako je vodeći koeficijent a=2 pozitivan, rješenje nejednadžbe bit će

$<-\infty ,-\frac{1}{2}>\bigcup <4,+\infty >$

odnosno

$\mathbb{R}\setminus \left [ -\frac{1}{2},4 \right ]$

Državna matura – sustav jednadžbi

22.1.

Iz 1. jednadžbe izrazimo x preko y:

$4y=5x-10\Rightarrow x=\frac{4}{5}y+2$

Iz 2. jednadžbe slijedi da je $z=x-8= \frac{4}{5}y-6$

     22.2.

Iz 1. nejednadžbe slijedi $x>\frac{3}{2}$

Iz 2. nejednadžbe dobivamo $2x+10\geq 6x-1$

$-4x\geq -11$

$x\leq \frac{11}{4}$

Vrijedi i prva i druga nejednakost, tako da je rješenje njihov presjek:

$x\in <\frac{3}{2},\frac{11}{4}]$

Državna matura matematika – kubna jednadžba

23. Riješite sljedeće zadatke.

23.1.

$x^{2}(x+a) - (x+ a) = 0$

$(x^{2}-1)(x+a)= 0$

Odgovor: $x_{1}=1, x_{2}=-1, x_{3}=- a$

23.2. Riješite nejednadžbu log(x − 2) >1

$10^{ \log(x - 2) }>10^1$

24.

24.1. Zapišite prvi član toga niza.

$a_{1} = 2(1 + p) - 4=2+2p-4=2p-2$

24.2. Izračunajte vrijednost realnoga broja p ako je zbroj prvih pet članova toga niza jednak 60

$a_{1} = 2(1 + p) - 4=2+2p-4=2p-2$

$a_{2} = 2(2 + p) - 4=4+2p-4=2p$

$a_{3} = 2(3 + p) - 4=6+2p-4=2p+2$

$a_{4} = 2(4 + p) - 4=8+2p-4=2p+4$

$a_{5} = 2(5 + p) - 4=10+2p-4=2p+6$

Zbrojimo prvih 5 članova niza i izjednačimo sa 60:

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5} = 60$

p=5

Državna matura matematika – koordinatni sustav

Prvo očitamo koordinate točaka: A(3, -3), B(2, 1), C(-3, 2). Za mjeru kuta pri vrhu C vrijedit će formula $\tan\gamma =\left | \frac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}} \right |$ . $k_{1}$ je koeficijent pravca AC, a $k_{2}$ pravca BC:

$k_{1}=\frac{y_{A}-y_{C}}{x_{A}-x_{C}}=\frac{-3-2}{3+3}=\frac{-5}{6}$

$k_{2}=\frac{y_{B}-y_{C}}{x_{B}-x_{C}}=\frac{1-2}{2+3}=\frac{-1}{5}$

$\tan\gamma =\left | \frac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}} \right |$

$\tan\gamma =\left | \frac{\frac{-1}{5}-\frac{-5}{6}}{1+\frac{-1}{5}\cdot\frac{-5}{6}} \right |=\frac {19}{35}$

$\gamma=28^{\circ}30{}'$

25.2. Izračunajte duljinu visine trokuta iz vrha B .

Visina iz vrha B jednaka je udaljenosti točke B od pravca AC. Udaljenost točke $T(x_{1}, y_{1})$ i pravca $p... Ax+By+C=0: d(T,p)=\frac{\left | Ax_{1}+By_{2}+C \right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$ . Jednadžba pravca AC:

$y - y_{A}=k_1(x-x_{A})$

$y +3=\frac{-5}{6}(x-3)$

$6y+18=-5x+15\Rightarrow 5x+6y+3=0$

$v_{b}=\frac{\left| Ax_{1}+By_{2}+C \right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

$v_{b}=\frac{5\cdot 2+6\cdot 1+3}{\sqrt{5^{2}+6^{2}}}=\frac{19}{\sqrt{61}}=\frac{19\sqrt{61}}{61}$

25.3. Vektor $\overrightarrow{AB}$ prikažite kao linearnu kombinaciju jediničnih okomitih vektora $\vec{i}$ i $\vec{j}$

Jednostavno od koordinata krajnje točke B(2, 1) oduzmemo koordinate početne točke A(3, -3):

$\overrightarrow{AB}= (2-3)\vec{i} +(1+3)\vec{j}=-\vec{i}+4\vec{j}$

Državna matura – sinusoida – graf funkcije

Vidimo da funkcija po y osi varira između -2 i 2. Znači da joj je amplituda A = 2.

$f\left ( \frac{2\pi}{3} \right )=2$

$2\sin\left ( \frac{2\pi}{3} +C \right )=2$

$\sin\left ( \frac{2\pi}{3} +C \right )=1$

$\frac{2\pi}{3} +C =\frac{\pi }{2}$

$C= \frac{\pi }{2}-\frac{2\pi}{3}= \frac{-\pi}{6}$

Državna matura – sličnost

28.1. Napišite jednadžbu pravca koja prolazi točkom T(6, 3) i sjecištem pravaca i

$\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=1$

Sredimo jednadžbu drugog pravca i riješimo sustav – neka nam rješenje bude točka U.

Od prve jednadžbe oduzet ćemo drugu:

Gledamo jednadžbu pravca kroz točke T(6, 3) i U(4, 3):

$y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left ( x-x_{1} \right )$

$y-3=\frac{3-3}{6-4}\left ( x-4 \right )$

28.2. Napišite koordinate žarišta (fokusa) hiperbole čija je jednadžba $x^{2}-y^{2}=144$ .

Apscisa fokusa zadovoljavat će jednadžbu $e^{2}=a^{2}+b^{2}$ . Kako bismo dobili parametre a i b, hiperbolu svodimo na kanonski oblik $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ dijeljenjem početne jednadžbe s 144:

$\frac{x^{2}}{144}-\frac{y^{2}}{144}=1$

Dakle:

$a=b=12\Rightarrow e=\pm \sqrt{a^{2}+b^{2}}=\pm \sqrt{12^{2}\cdot 2}=\pm 12\sqrt{2}$

Odgovor: točke žarišta bit će $F_{1}(12\sqrt{2},0)$ i $F_{2}(-12\sqrt{2},0)$

28.3. Halleyev komet giba se oko Sunca po eliptičnoj putanji kojoj je numerički
ekscentricitet ε = 0.967 . Sunce se nalazi u žarištu (fokusu) te elipse.

Najmanja udaljenost kometa od Sunca je $8.75\cdot 10^{10}$ m.

Koliko iznosi najveća udaljenost Halleyeva kometa od Sunca?

Napomena: Numerički ekscentricitet ε računa se prema formuli $\varepsilon =\frac{e}{a}$

Komet je najmanje udaljen od Sunca (perihel) kad se nalazi “skroz istočno”, u T(a, 0) a

Sunce je u fokusu F(e, 0). Tada vrijedi $d_{min}=a-e=8.75\cdot 10^{10}m$

Komet je najudaljeniji od Sunca (afel) kad se nalazi “skroz zapadno”, u T(-a, 0). Tada je
njegova udaljenost $d_{max}= a + e$ .

U formuli za najmanju udaljenost primjenimo jednakost $e=\varepsilon \cdot a$ :

$a-\varepsilon \cdot a=8.75\cdot 10^{10}m$

$a(1-\varepsilon) =8.75\cdot 10^{10}m$

$a(1-0.967) =8.75\cdot 10^{10}m$

$0.033a =8.75\cdot 10^{10}m$

$a =2.65\dot{1}\dot{5}\cdot 10^{12}m$

Sad možemo izračunati i e:

$e=\varepsilon \cdot a= 0.967 \cdot2.65\dot{1}\dot{5}\cdot 10^{12}m=2.5640\dot{1}\dot{5}\cdot 10^{12}m$

Za kraj, maksimalnu udaljenost računamo tako da zbrojimo a i e:

$d_{max}=a+e= 5.2155303\cdot 10^{12}m$

Državna matura matematika – derivacija, domena, slika, ekstremi

29.1. Zadana je funkcija $f(x)=2^{x}-8$ .

Odredite područje definicije funkcije f.

Odgovor: Pošto možemo uvrstiti bilo koji realni broj, domena će biti $<-\infty ,\infty > = \mathbb{R}$

Odredite nultočku funkcije f.

$2^{x}-8=0$

$2^{x}=8$

$2^{x}=2^{3}$

x = 3

Izračunajte f (−5) . Rezultat zapišite u decimalnome obliku i zaokružite ga na
tri decimale.

$f(-5)=2^{-5}-8=\frac{1}{32}-8\approx -7.969$

29. 2. Odredite prvu derivaciju funkcije $f(x)=x\cdot \sin x$

$f'(x)=x'\cdot \sin x +x\cdot \sin 'x=\sin x+x\cdot \cos x$

29.3. Za koji realan broj x funkcija $f(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-6$ postiže lokalni minimum?

Izračunajmo prvu i drugu derivaciju funkcije:

$f'(x)=x^{2}-x$

Izjednačimo prvu derivaciju s nulom i nađimo stacionarne točke. One su nam kandidati za ekstreme:

$x^{2}-x=0$

$x_{1}=0, x_{2}=1$

Nađimo predznak druge derivacije u 0 i 1. To će nam reći postižu li se u stacionarnim točkama ekstremi:

$f''(0)=-1<0 \Rightarrow Max$

$f''(1)=1>0 \Rightarrow min$

Dakle, lokalni minimum postiže se u točki x = 1 i iznosi

29.4. Odredite skup svih vrijednosti (sliku) funkcije .

Apsolutna vrijednost će svaki sadržaj preslikati nenegativno (u pozitivan broj ili u nulu). Zbog toga je slika od |x +1| jednaka $[0,\infty >$ . Kako mi od toga još oduzimamo 3, slika zadane funkcije će biti $[-3,\infty >$

29.5. Zadane su funkcije i $g(x)=\log _{5}x$ Rješite jednadžbu $(f\circ g)(x)=7$

$(f\circ g)(x)=7$

$2\log _{5}x=7$

$\log _{5}x^{2}=7$

$x^{2}=5^{7}$

U obzir uzimamo samo pozitivni korijen, pošto je g(x) definiran samo za pozitivne brojeve.

30.

$l_{1}=\frac{r\pi \alpha }{180^{\circ}}$    (1)

$l_{2}=\frac{(r+d)\pi \alpha }{180^{\circ}}$      (2)

Podijelimo (2) s (1):

$\frac{l_{2}}{l_{1}}=\frac{\frac{(r+d)\pi \alpha }{180^{\circ}}}{\frac{r \pi \alpha }{180^{\circ}}}$

$\frac{l_{2}}{l_{1}}=\frac{r+d}{r}$

$\frac{21.6}{14.6}=\frac{r+9.3}{r}$

$21.6\cdot r=14.6\cdot r+14.6\cdot 9.3$

$7\cdot r=135.78$

$r\approx 19.3971429$ cm

Iz (1) izračunamo središnji kut:

$\alpha =\frac{180l_{1}}{r\pi }$

$\alpha \approx 43.125855^{\circ}$

Izračunamo površinu kružnog vijenca:

$P_{V}=[(r+d)^{2}-r^{2}]\pi$

$P_{V}\approx447.276858\pi \; cm^{2}$

Površina etikete bit će:

$P_{E}=P_{V}\cdot \frac{\alpha }{360^{\circ}}$

$P_{E}\approx 53.5811\pi\; cm^{2}$

Pogledamo koliko etiketa možemo izrezati iz kružnog vijenca:

$360^{\circ}/\alpha \approx 8.34766049$

n = 8

I za kraj, od ukupne površine oduzmemo 8 površina etiketa:

$P\approx 18.628058\pi \; cm^{2}\approx 58.52177\; cm^{2}$

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranoga kartona oblika kružnoga vijenca.

Dimenzije jedne etikete su $l_{1} =14.6$ cm, $l_{2} = 21.6$ cm, cm. Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnoga vijenca izrezan maksimalni broj etiketa?

29. Riješite sljedeće zadatke s funkcijama.

27. Kvadrat ABCD na skici ima stranice duljine 7 cm, a kvadrat BEFG stranice duljine 5 cm.

Kolika je duljina dužine $\overline{DE}$ ?

$\overline{DE}$ je hipotenuza pravokutnog trokuta EDA.

Odredite omjer duljina dužina $\overline{BH}$ i $\overline{HG}$ .

Neka je |BH| = x. Tada je |HC| = 7 – x. Iz sličnosti trokuta BEH i HCD slijedi:

x : (7-x) = 5:7 ==> 7x = 35 – 5x ==> x = 35/12

$\overline{HG}$ = 5 – x = 25/12

$\overline{BH} : \overline{HG}$ = 35 : 25 = 7 : 5

Državna matura matematika – jednadžba pravca, hiperbola, elipsa

28. Riješite sljedeće zadatke. Državna matura iz matematike – kružni vijenac i isječak
26. Grafom je zadana funkcija f(x) = Asin(x +C) . Odredite A i C .

25. Na slici je prikazan trokut ABC.

25.1. Izračunajte mjeru kuta u vrhu C . Zadan je opći član aritmetičkoga niza $a_{n} = 2(n + p) - 4$

Državna matura matematika – aritmetički niz
Odredite sva tri rješenja jednadžbe $x^{3} + ax^{2} - x - a = 0$ . Riješite sustav $\left\{\begin{matrix} x-\frac{1}{2}>1\\ 2(x+5)\geq 6x-1 \end{matrix}\right.$ i rješenje zapišite s pomoću intervala. Izrazite z s pomoću y ako je $\left\{\begin{matrix} y=\frac{5(x-2)}{4}\\ x=z+8 \end{matrix}\right.$

22. Riješite sljedeće zadatke sa sustavima.

DRŽAVNA MATURA ~ PRIPREME

14. kolovoza 2012.

Riješeni zadaci iz matematike za državnu maturu - viša razina II

Riješeni zadaci iz matematike za državnu maturu - viša razina II

Jednadžba kružnice:

Državna matura – graf funkcije

Državna matura matematika – derivacija, domena, slika, ekstremi